Basiswissen Mathematik

Mathematische Kenntnisse benötigt man in fast allen Bereichen der modernen Wissenschaft. Zeit die Grundlagen zu erläutern bzw. aufzufrischen.

Die Mathematik selbst ist ein einziges großes Konzept, und sie ist vollgestopft mit so vielen kleineren mathematischen Konzepten, dass kein Mensch sie alle verstehen kann – auch nicht mit einer guten Portion Lernen. Dennoch sind bestimmte Konzepte so wichtig, dass sie in die Math Hall of Fame aufgenommen wurden:

Primzahlen

Eine Primzahl ist jede zählende Zahl, die genau zwei Teiler hat (Zahlen, die sich gleichmäßig in sie teilen) – 1 und die Zahl selbst. Primzahlen gehen ewig weiter – d.h. die Liste ist unendlich lang – aber hier sind die ersten zehn:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 usw.

Mengen und Mengenlehre

Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten. Die Objekte, die als Elemente der Menge bezeichnet werden, können greifbar (Schuhe, Luchse, Menschen, Geleebonbons usw.) oder ungreifbar (fiktive Charaktere, Ideen, Zahlen usw.) sein. Sets sind eine so einfache und flexible Art und Weise, die Welt zu organisieren, dass Sie alle mathematischen Begriffe in ihnen definieren können.

Mathematiker definieren Mengen zunächst sehr sorgfältig, um seltsame Probleme zu vermeiden – eine Menge kann zum Beispiel eine andere Menge enthalten, aber sie kann sich selbst nicht enthalten. Nachdem das gesamte Konzept einer Menge gut definiert ist, werden Mengen verwendet, um Zahlen und Operationen wie Addition und Subtraktion zu definieren, was der Ausgangspunkt für die Mathematik ist, die Sie bereits kennen und lieben.

Gleichheitszeichen und Gleichungen

Das bescheidene Gleichheitszeichen (=) ist in der Mathematik so verbreitet, dass es praktisch unbemerkt bleibt. Aber es repräsentiert das Konzept der Gleichheit – wenn eine Sache mathematisch gleich ist wie die andere -, das eines der wichtigsten mathematischen Konzepte ist, das je geschaffen wurde. Eine mathematische Aussage mit einem Gleichheitszeichen ist eine Gleichung. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei mathematische Ausdrücke, die den gleichen Wert haben, und bietet eine leistungsfähige Möglichkeit, Ausdrücke miteinander zu verbinden.

Funktionen

Eine Funktion ist eine mathematische Maschine, die eine Zahl aufnimmt (Eingabe genannt) und genau eine andere Zahl zurückgibt (Ausgabe genannt). Sie ist so etwas wie ein Mixer, denn was man aus ihr herausbekommt, hängt davon ab, was man in sie hineinsteckt. Angenommen, Sie erfinden eine Funktion namens Hauzweidrauf, die zu jeder Zahl 2 addiert. Wenn Sie also die Zahl 5 eingeben, ist die Zahl, die ausgegeben wird, 7:

Hauzweidrauf(5) = 7

Wenn Sie die Zahl 50 eingeben, wird die Zahl 52 ausgegeben:

Hauzweidrauf(50) = 52

Das Unendliche

Schon das Wort Unendlichkeit verfügt über große Macht. So auch das Symbol für die Unendlichkeit (∞). Unendlichkeit ist die Eigenschaft der Unendlichkeit selbst. Und doch haben die Mathematiker die Unendlichkeit in hohem Maße gezähmt. Sir Isaac Newton hat in seiner Erfindung der Analysis das Konzept einer Grenze eingeführt, mit der man berechnen kann, was mit den Zahlen geschieht, wenn sie sehr gross werden und sich der Unendlichkeit nähern.

Das xy-Zeichen

Bevor die xy-Grafik (auch kartesisches Koordinatensystem genannt) erfunden wurde, wurden Algebra und Geometrie jahrhundertelang als zwei getrennte und nicht zusammenhängende Bereiche der Mathematik studiert. Algebra war ausschließlich das Studium von Gleichungen, und Geometrie war ausschließlich das Studium von Figuren auf der Ebene oder im Raum. Der vom französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes erfundene Graph brachte Algebra und Geometrie zusammen und ermöglichte es Ihnen, Lösungen für Gleichungen zu zeichnen, die die Variablen x und y als Punkte, Linien, Kreise und andere geometrische Formen in einem Graphen enthalten.

Pi (π)

Das Symbol π (ausgesprochen Pi) ist ein griechischer Buchstabe, der für das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser steht. Hier ist der ungefähre Wert von π:

π ≈ 3.1415926535…

Obwohl π nur eine Zahl ist – oder algebraisch ausgedrückt eine Konstante – ist sie aus mehreren Gründen wichtig:

Ohne sie wäre die Geometrie einfach nicht dasselbe. Kreise sind eine der grundlegendsten Formen in der Geometrie, und Sie benötigen π, um die Fläche und den Umfang eines Kreises zu messen.

Pi ist in der Mathematik überall. Es taucht ständig dort auf, wo man es am wenigsten erwartet. Ein Beispiel ist die Trigonometrie, das Studium von Dreiecken. Dreiecke sind natürlich keine Kreise, aber Trigonometrie verwendet Kreise, um die Größe von Winkeln zu messen, und man kann keinen Kompass schwingen, ohne π zu treffen.
Pi ist eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass es keinen Bruchteil gibt, der ihr genau entspricht. Darüber hinaus ist π eine transzendente Zahl, was bedeutet, dass es niemals der Wert von x in einer Polynomgleichung (der grundlegendste Typ algebraischer Gleichungen) ist.

Null/ Zero

Zero mag wie ein großes Nichts aussehen, aber es ist tatsächlich eine der größten Erfindungen aller Zeiten. Wie alle Erfindungen existierte sie nicht, bis jemand daran dachte. (Die Griechen und Römer, die so viel über Mathematik und Logik wussten, wussten nichts über die Null).

Das Konzept der Null als Zahl entstand unabhängig voneinander an mehreren verschiedenen Orten. In Südamerika enthielt das Zahlensystem, das die Mayas verwendeten, ein Symbol für die Null. Und das heute in den meisten Teilen der Welt verwendete hindu-arabische System entwickelte sich aus einem früheren arabischen System, das die Null als Platzhalter verwendete. Tatsächlich ist die Null nicht wirklich nichts – sie ist einfach eine Möglichkeit, nichts mathematisch auszudrücken. Und das ist wirklich etwas.

Die imaginäre Zahl i

Die imaginären Zahlen (Zahlen, die den Wert i = √ – 1 enthalten) sind eine Menge von Zahlen, die nicht auf der Zeile der reellen Zahlen zu finden sind. Wenn diese Idee unglaublich klingt – wo sollten sie sonst sein? – Keine Sorge: Tausende von Jahren lang haben auch die Mathematiker nicht an sie geglaubt. Aber reale Anwendungen in der Elektronik, Teilchenphysik und vielen anderen Bereichen der Wissenschaft haben Skeptiker zu Gläubigen gemacht. Wenn Ihre Sommerpläne also die Verkabelung Ihres geheimen unterirdischen Labors oder den Bau eines Flusskondensators für Ihre Zeitmaschine vorsehen – oder vielleicht auch nur ein Studium der Elektrotechnik – werden Sie feststellen, dass imaginäre Zahlen zu nützlich sind, um sie zu ignorieren.

Reelle Zahlen und Reihen

Jeder Punkt auf der Zahlenreihe steht für eine Zahl. Das klingt ziemlich offensichtlich, ist aber seltsam zu sagen, dass dieses Konzept seit Tausenden von Jahren nicht vollständig verstanden wurde. Der griechische Philosoph Zeno von Elea stellte dieses Problem, das er Zenos Paradoxon nannte: Um durch den Raum zu gehen, muss man zunächst die Hälfte der Strecke durch den Raum gehen. Dann muss man die Hälfte der verbleibenden Strecke zurücklegen. Danach muss man die Hälfte der noch verbleibenden Strecke zurücklegen). Dieses Muster setzt sich für immer fort, wobei jeder Wert halbiert wird, was bedeutet, dass man nie auf die andere Seite des Raumes gelangen kann. In der realen Welt kann und wird man natürlich die ganze Zeit über Räume laufen. Aber vom Standpunkt der Mathematik aus betrachtet, blieben Zenos Paradoxon und andere ähnliche Paradoxien etwa 2000 Jahre lang unbeantwortet.

Das Grundproblem war dieses: Alle in der vorhergehenden Sequenz aufgeführten Brüche liegen zwischen 0 und 1 auf der Zahlenreihe. Und es gibt unendlich viele von ihnen. Aber wie kann man eine unendliche Anzahl von Zahlen in einem endlichen Raum haben? Die Mathematiker des 19. Jahrhunderts – allen voran Richard Dedekind, Augustin Cauchy, Karl Weierstraß und Georg Cantor – haben dieses Paradoxon gelöst. Das Ergebnis war die reale Analysis, die fortgeschrittene Mathematik der reellen Zahlenreihe.